Lección 8: Múltiplos, Divisores y Divisibilidad

¿Qué son los Múltiplos? (Co to są wielokrotności?)

Múltiplo (Wielokrotność):

Los múltiplos de un número son los resultados de multiplicarlo por 1, 2, 3, 4, 5...
Se obtienen al multiplicar el número por cualquier número natural
Todo número es múltiplo de sí mismo
El 0 es múltiplo de todos los números

Ejemplo: Múltiplos de 3

3 × 1 = 3
3 × 2 = 6
3 × 3 = 9
3 × 4 = 12
3 × 5 = 15
3 × 6 = 18...

Múltiplos de 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30...

Ejemplo: Múltiplos de 5

Múltiplos de 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50...

💡 Observación: Los múltiplos de un número son INFINITOS. Siempre puedes seguir multiplicando.

¿Qué son los Divisores? (Co to są dzielniki?)

Divisor (Dzielnik):

Un divisor de un número es un número que lo divide exactamente (sin resto)
Si a ÷ b no tiene resto, entonces b es divisor de a
El 1 es divisor de todos los números
Todo número es divisor de sí mismo

Ejemplo: Divisores de 12

12 ÷ 1 = 12 ✓ → 1 es divisor
12 ÷ 2 = 6 ✓ → 2 es divisor
12 ÷ 3 = 4 ✓ → 3 es divisor
12 ÷ 4 = 3 ✓ → 4 es divisor
12 ÷ 5 = 2.4 ✗ → 5 NO es divisor
12 ÷ 6 = 2 ✓ → 6 es divisor
12 ÷ 12 = 1 ✓ → 12 es divisor

Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12

Ejemplo: Divisores de 20

Divisores de 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20

💡 Observación: Los divisores de un número son LIMITADOS (finitos). No hay infinitos divisores.

Múltiplos vs Divisores

Característica	Múltiplos	Divisores
Cantidad	INFINITOS	FINITOS (limitados)
Tamaño	Son MAYORES o iguales al número	Son MENORES o iguales al número
Cómo obtenerlos	MULTIPLICAR	DIVIDIR
Ejemplo (número 6)	6, 12, 18, 24, 30...	1, 2, 3, 6

🎯 Truco para recordar:
Múltiplos → Multiplicar → Más grandes
Divisores → Dividir → más Diminutivos

Reglas de Divisibilidad (Reguły podzielności)

📌 Divisibilidad por 2:

Un número es divisible por 2 si termina en 0, 2, 4, 6 u 8
Ejemplos: 14, 28, 50, 126, 1000

📌 Divisibilidad por 3:

Un número es divisible por 3 si la suma de sus dígitos es divisible por 3
Ejemplo: 27 → 2 + 7 = 9 → 9 ÷ 3 = 3 ✓
Ejemplo: 123 → 1 + 2 + 3 = 6 → 6 ÷ 3 = 2 ✓

📌 Divisibilidad por 4:

Un número es divisible por 4 si sus dos últimos dígitos son divisibles por 4
Ejemplo: 316 → 16 ÷ 4 = 4 ✓
Ejemplo: 1200 → 00 ÷ 4 = 0 ✓

📌 Divisibilidad por 5:

Un número es divisible por 5 si termina en 0 o 5
Ejemplos: 15, 20, 35, 100, 255

📌 Divisibilidad por 6:

Un número es divisible por 6 si es divisible por 2 Y por 3
Ejemplo: 18 → par (✓) y 1+8=9 divisible por 3 (✓)

📌 Divisibilidad por 9:

Un número es divisible por 9 si la suma de sus dígitos es divisible por 9
Ejemplo: 81 → 8 + 1 = 9 → 9 ÷ 9 = 1 ✓
Ejemplo: 234 → 2 + 3 + 4 = 9 ✓

📌 Divisibilidad por 10:

Un número es divisible por 10 si termina en 0
Ejemplos: 10, 50, 100, 230, 1000

Ejemplos Prácticos

¿El número 36 es divisible por 2, 3, 4, 5, 6, 9?

✓ Por 2: Termina en 6 (par)
✓ Por 3: 3 + 6 = 9 (divisible por 3)
✓ Por 4: Últimos dos dígitos = 36 ÷ 4 = 9
✗ Por 5: No termina en 0 ni 5
✓ Por 6: Es divisible por 2 Y por 3
✓ Por 9: 3 + 6 = 9 (divisible por 9)

¿El número 125 es divisible por 2, 3, 5?

✗ Por 2: Termina en 5 (impar)
✗ Por 3: 1 + 2 + 5 = 8 (NO divisible por 3)
✓ Por 5: Termina en 5

MCM y MCD (NWW i NWD)

Mínimo Común Múltiplo (MCM) - Najmniejsza wspólna wielokrotność (NWW):

El múltiplo más pequeño que dos números tienen en común
Ejemplo: MCM de 4 y 6

Múltiplos de 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24...
Múltiplos de 6: 6, 12, 18, 24, 30...
Comunes: 12, 24...
MCM(4,6) = 12

Máximo Común Divisor (MCD) - Największy wspólny dzielnik (NWD):

El divisor más grande que dos números tienen en común
Ejemplo: MCD de 12 y 18

Divisores de 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
Divisores de 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18
Comunes: 1, 2, 3, 6
MCD(12,18) = 6

Aplicaciones en Cracovia

Plaza del Mercado: Tiene 200m de lado. El 200 es divisible por 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100
Tranvías: Pasan cada 10 minutos (múltiplos de 10: 10, 20, 30, 40...)
Pierogis: Se venden en cajas de 12. Para tener 48 pierogis necesitas 4 cajas (48 es múltiplo de 12)
Horario de Hejnał: Cada hora (múltiplos de 60 minutos)

Resumen

💡 Puntos Clave:

Múltiplos: Resultado de multiplicar (infinitos, mayores)
Divisores: Números que dividen exactamente (finitos, menores)
Reglas de divisibilidad: Trucos para saber si un número divide a otro sin hacer la división
MCM: Mínimo múltiplo común
MCD: Máximo divisor común

🔢 Lección 8: Múltiplos, Divisores y Divisibilidad

¿Qué son los Múltiplos? (Co to są wielokrotności?)

¿Qué son los Divisores? (Co to są dzielniki?)

Múltiplos vs Divisores

Reglas de Divisibilidad (Reguły podzielności)

Ejemplos Prácticos

MCM y MCD (NWW i NWD)

Aplicaciones en Cracovia

Resumen